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二次函數在閉區間上的最值問題

二次函數在閉區問上的最值問題

◇楊家麗

摘要:二次函數在某閉區間上的最值問題是高考考查的重

(3)當a/3>1/3,即a>l時,f(x)min=f(1/3)=a2—4a一5,由a2-4a一5>0得a<-1或a>5,所以a>5

點內容之一,也是學生學習中很難掌握的內容之一.二次函數在某閉區間上的最值問題的關鍵在于函數對稱軸與給定區間的相對位置關系的討論。本文著重從“軸定區間定;軸動區間定;軸定區間動;軸動區間動”四個方面進行解剖,將錯綜復雜,難以把握

的二次函數在某閉區間上的最值問題簡單化,用分類討論來解決這類題型。

關鍵詞:二次函數

閉區間

對稱軸最值問題

綜上所述:aE{—q—怕IU【5,蜘).

三、軸定區間動

此類題型是二次函數的對稱軸是確定的,但給的區間含有參數,同上面的類型二類似,只是將軸與區間的變動關系進行了調換。

例3:求函數f(X)=xL2x一2在區間[t,t+1]上最小值的解析式。

解:f(x)=(X_1)2_3,對稱軸x=l

討論:(1)當t>l時,f(x)._--f(15)=t2-2t一2

(2)當t<1<t+l,即0<t<1時,f(x)min--f(1)一3(3)當t+l<l,即t<O時,f(x)…=f(t+1)=t2-3

二次函數在某閉區間上的最值問題是高考考查的重點內容之一,備受命題者的青睞。但學生在初學時,往往會感到錯綜復

雜,難以把握。其實,這類問題的關鍵在于函數對稱軸與給定區間的相對位置關系的討論。一般分為:對稱軸在區間的左邊、中

間、右邊三種情況。本文將從下面四種類型加以歸納:軸定區間定;軸動區間定;軸定區間動;軸動區間動。

一、軸定區間定

綜上,f(x)在區間[t,t+1】上的最小值是一個分段函數,即

此類題型對稱軸和區間都是確定的,因而二次函數的最值

也是確定的,直接觀察二次函數在區間上的圖像即可確定,不需討論。

例1:已知函數f(x)=2x2+x-3,x∈[一1,2],求f(x)最大與最小值。

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四、軸動區間動

此類題型仍然根據軸在區間的左邊、中間、右邊三種位置關系加以討論。

例4:求函數f(x)=x2-(6-4a)x+9-4a2(a>O)的最4、值。

解:對稱軸x=-l/4,而一1<-1/4<2,由數形結合知:

f(x)。,。=f(一1/4)=2s/8;f(x)。。=f(2)=7。二、軸動區間定

此類題型是二次函數的對稱軸含參數不確定,而給定的區間是確定的。這就需按對稱軸與給定區間的左,中、右三種位置

解:配方得f(x)=[x-(3_2a)】2+12a-8a2,X“a,+*】,對稱

軸x=3-2a

討論:(1)當3-2a<a,即a>l時,f(x)…=f(a)=(a一3)2(2)當3_2a>a,即O<a<1時,f(x)。;。=f(3-2a)=12a-8a2所以

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關系討論,由數形結合可知函數在區間上的最大值與最小值。

例2:不等式9x2-6ax+a2-2a_6>0在-1/3<x<1/S內恒成立,求實數a的取值范圍。

分析:此題初看是一個不等式問題,但其關鍵在恒成立,恒成立問題一定注意轉化為最值問題,故本題即是求函數在-]/3‘x<1/S內的最小值不小于零。

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由以上幾種類型可知,二次函數在閉區間的最值受制于對

解:令f(x)=9x2。_6ax+aL2a_6,X“-1/3,113]

即f(x)=9(x-a/3)2-2a-6,對稱軸x=a/3

討論:(1)當a/s<-a/3,即a<-1時,f(x)min---f(_1/3)=a2_5'由a2。-5>0得口>√5或a§一j所以口s_√5

稱軸與區間的相對位置關系,特別是含參數的三類“軸動區間

定、軸定區間動、軸動區間動”的最值問題,要考察區間與對稱軸的相對位置關系,抓住“三點一軸”數形結合,三點指的是區間兩個端點和區間中點,一軸指的是對稱軸,分類討論常成為解題的通法。

(作者單位:重慶市第十一中學)

(2)當一1/3<a/3<1/3,即一1<a<1時,f(x)。=f(a/3)一

2a_6,由-2a_6>0得a<-3,與a∈[_1,1】矛盾,合去。

的情操、價值觀等。這些物質會折射人人們的心靈,對人起到一種潛移默化的陶冶作用。

(2)注重體育場館的設計理念。體育場館不僅是學校開展體育教學和進行體育比賽的重要場所,也是一所高校的標志性建筑,是校園功能結構和基礎設施的重要組成部分,是學校建筑環境的亮點,體育館的修建給學校的環境增加不少光環。體育館建設體現出來的是一所學校對學校體育教學設施的理

力,同時要引導和組織大學生觀賞體育競賽,形成一定數量的忠實觀眾,這樣才能促進高校體育競賽的傳播和發展。高校體育競賽的繁榮發展,必然會對它的傳播媒體提出更高的要求,作為高校的重要的宣傳工具,校園媒體擔負著不可推卸的責任。

(4)注重賽場象征文化的建設。高校的象征文化包涵著一所高校體育運動的整體形象,既包括視覺上的旗幟,徽章、標準色、吉祥物等,也包括聽覺上的隊歌昵稱等。高校體育競賽應堅持以形成品牌文化為理念,突出校園文化內涵,設計出體現大學生積極向上、團結拼搏、開拓創新精神風貌的會標、會徽、會歌、會旗、吉祥物。

(作者單位:廣東工業大學體育部)

解和重視,更是對體育事業的關懷。因此。在設計和建造上要

力求與校園環境及學校的辦學特色和諧。

(3)發展好校園媒體,引導學生現場觀賞。高校應該加強高校體育競賽的宣傳力度,拓展宣傳方式,擴大社會和校園影響

2009.N022@

萬方數據 

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